【技術分享】使用諧波平衡法與 Quanscient Allsolve 在頻域中分析非線性系統

By Burcu Coskunsu

專家貢獻者 - Dr. Alexandre Halbach(技術長/共同創辦人)、Dr.-Ing. Abhishek Deshmukh(應用工程團隊主管)

重點摘要

• 非線性系統在真實應用中十分常見，而傳統的暫態分析方法往往又慢又容易產生雜訊，難以進行分析。

• 諧波平衡法能將系統行為分解為簡單的週期性模式（包含因系統複雜性所造成的模式），提供更快速且精準的分析方式。

• 雲端多物理場模擬軟體 Quanscient Allsolve 藉由雲端運算支援，讓該方法在詳細模擬中變得實用，能處理大型且複雜的模型。

• 實際案例，如導線的熱分析、樑的振動以及微型揚聲器設計，凸顯了此方法的實用性與高效率。

導言

非線性系統在工程領域中隨處可見，從材料的彎曲與延展方式，到電路的運作原理，皆屬其中。然而，這些系統並不遵循簡單的規則，因此分析起來充滿挑戰。傳統上常透過瞬態模擬（transient simulation）來理解與描述系統行為，但這些方法存在明顯缺點。首先，模擬過程耗時冗長，且往往需要手動微調才能得到穩定解（見圖一）。即使付出這些努力，最終結果仍可能含有雜訊，解讀上困難重重，尤其是在試圖擷取頻率數據時更為顯著。

圖一：位移隨時間變化，顯示在達到穩定週期狀態前的暫態行為 [1]。

更好的方法是諧波平衡法（harmonic balance method），此方法直接在頻域（frequency domain）中運作。它不僅僅分析基本的週期性模式（或基頻諧波），還能捕捉由系統非線性行為所產生的更複雜模式（高次諧波）。透過這種方式，工程師能完整掌握系統在頻域中的行為，使其成為處理複雜問題時不可或缺的工具。

諧波平衡法將場量分解為截斷傅立葉級數（truncated Fourier series），如方程式1所示，將系統行為表達為多個諧波的總和。這些諧波不僅包含由外部驅動力產生的成分，還包括因系統非線性而新生成的成分。這樣的原理確保該方法即使在高度複雜的系統中，仍能準確捕捉到穩態週期性行為。

透過聚焦於主要諧波（dominant harmonics），此方法能避免不必要的計算，因而比暫態模擬更高效。這種作法讓工程師能以高精度與清晰度來分析非線性系統，特別適合需要深入洞察的應用場景。

方程式1

Quanscient Allsolve 諧波平衡法在工程中的影響

自 1970 年代發展以來，諧波平衡法（harmonic balance）一直是具價值的分析方法 [2]。最初由於計算成本較低，主要應用於較簡單的集總模型（lumped models）。然而，當應用於有限元素法（FEM, Finite Element Method）時，隨著自由度（DoFs）與諧波數量的增加，計算需求與記憶體消耗快速攀升，因此其應用長期受到限制。FEM 模型本質上相當複雜，涉及大量自由度，在納入高次諧波時，計算成本更是大幅增加。

Quanscient Allsolve 結合了諧波平衡法與雲端運算的可擴展性，有效解決了這些限制。透過隨需分配的雲端資源，Quanscient Allsolve 消除了記憶體與運算能力上的硬體瓶頸，使諧波平衡法能夠高效應用於大型 FEM 非線性工程問題的頻域模擬。這不僅讓過去因計算需求過高而無法模擬的系統成為可能，也讓工程師能選擇性分析高次諧波，而不必模擬所有中間諧波，從而節省時間並減少不必要的計算。

截至目前，尚無其他商用工具能將諧波平衡法應用於 FEM，特別是在多物理場模擬方面。Quanscient Allsolve 作為唯一提供此功能的工具，為工程師帶來一種全新且高效的複雜模擬方法，展現出其獨特性與領先優勢。

案例範例

交流焦耳熱（AC Joule Heating）[3]

電氣系統，無論是家中的電線，或是智慧型手機中的電路，當電流通過導體時都會產生熱量。這種現象稱為焦耳熱效應（Joule heating），它會對系統的效能與壽命造成顯著影響。

模擬通常被用來預測與分析焦耳熱效應。透過模擬不同的幾何形狀、材料與電流負載，可以幫助優化導線設計的效率。這在高電流或空間受限的應用中（例如電子裝置與電力傳輸系統）特別重要。

模擬目標

用一個簡單範例來示範諧波平衡法的關鍵原理。

模型

• 鋁質細絲，矩形橫截面（0.1 mm × 0.1 mm），長度 1 mm

• 物理場：電流傳輸（Current flow）＋ 固體熱傳（Heat solid）

• 耦合：焦耳熱（Joule heating）

• 邊界條件：一端施加所選基本頻率（）的正弦電流，另一端接地

圖二：在 Quanscient Allsolve 中的鋁質細絲模型視圖。

關鍵結果

圖三：在基本頻率 Hz 與 400 Hz 下暫態模擬的溫度分佈。

• 圖三顯示在基本頻率 Hz 與 400 Hz 下，電流通過細絲時的溫度演變。

• 在穩態下，最高溫度圖包含一個恆定成分，以及一個以兩倍基本頻率（2 × ）週期性變動的成分。

• 如圖四所示，這些成分可透過諧波平衡法於頻域中捕捉：T1 為零頻率下的恆定成分，T2 為基本頻率下的正弦成分，T3 為基本頻率下的餘弦成分，T4 為二倍基本頻率下的正弦成分，T5 為二倍基本頻率下的餘弦成分。

• 焦耳熱與施加電流的平方（）成正比。在基本頻率下施加的正弦交流電會導致細絲產生恆定的加熱效應，並伴隨圍繞恆定溫度的波動。

溫度受擴散方程式（diffusion equation）所支配。

上述的暫態項為溫度場中的系統增加了阻尼作用，導致同時出現正弦成分與餘弦成分。

可以清楚看出，除了恆定成分之外，其餘的貢獻皆來自於頻率為 的二次諧波係數，而基本頻率 () 下的諧波則為零。

圖四：在基本頻率 Hz 至 501 Hz（共 41 個步階）下，諧波平衡模擬中的溫度諧波成分。

展示的關鍵優勢

將暫態模擬方法與諧波平衡法進行比較，清楚展示了諧波平衡法的核心原理。

主幹曲線（Backbone Curves）[4]

樑是基本的結構元件，廣泛應用於各種領域，從橋梁、飛機到微電子皆可見。然而，樑容易受到振動影響，這可能導致疲勞、結構不穩定甚至失效。因此，了解樑的振動行為對於不同領域的工程師而言都至關重要。

模擬目標

展示諧波平衡法在捕捉固定兩端樑（clamped-clamped beam）非線性行為方面的能力。

模型

• 樑，矩形橫截面（0.03 m × 0.03 m），長度 1 m

• 物理場：固體力學（Solid mechanics）＋ 網格變形（Mesh deformation）

• 耦合：大位移（幾何非線性，Geometric nonlinearity）

• 驅動條件：施加所選基本頻率（）的正弦載荷

關鍵結果

機械共振以最大位移對驅動頻率的關係來表示。圖五顯示了在不考慮幾何非線性的情況下，最大位移隨頻率變化的結果。此線性行為清楚展現了共振峰值。

圖五：未考慮幾何非線性時，最大位移與頻率掃描的關係。

在考慮幾何非線性的情況下，如文獻 [5] 所示，在特定驅動頻率下可能存在多個有效解（見圖六）。這種情況使暫態模擬變得困難，而主幹形曲線（backbone-shaped curve）清楚顯示了這一點。

圖六：Hayashi 等人 [5] 的實驗數據。

然而，Quanscient Allsolve 能夠利用諧波平衡法追蹤各分支上的解點（見圖七）。需要注意的是，本範例的模擬設定與 Hayashi 等人 [5] 的設定不同，因此兩者無法比較，且本文亦無此意圖。

圖七：考慮幾何非線性時，最大位移與頻率掃描的關係，顯示三個不同的分支。

展示的關鍵優勢

透過 Quanscient Allsolve 展示了模擬非線性響應的便利性，以及相較於暫態模擬，諧波平衡法的主要優勢。

微型揚聲器（Microspeaker） [6, 7]

以靜電驅動的矽基微型揚聲器是一項新興技術，因其具備明顯優勢，能在寬廣的頻率範圍內提供高音質 [8, 9]。

模擬目標

展示更進階的多物理場模擬能力，包含網格變形，應用於以靜電驅動的矽基微型揚聲器這一複雜案例。

模型

• 兩個平行板，中間有氣隙

• 物理場：靜電學（Electrostatics）＋ 固體力學（Solid mechanics）＋ 層流（Laminar flow）＋ 網格變形（Mesh deformation）

• 耦合關係：· 靜電學與固體力學之間的靜電力· 固體力學與層流之間的流固耦合（Fluid-Structure Interaction）· 大位移：包含靜電學與網格變形、固體力學與網格變形（幾何非線性，Geometric nonlinearity），以及層流與網格變形（任意拉格朗日–歐拉法，Arbitrary Lagrangian–Eulerian, ALE）

• 以所選基本頻率（）的正弦電壓進行靜電驅動

• 使用前三階諧波

關鍵結果

驅動頻率：100 Hz / 自由度（DoFs）：80 萬 / 核心數：12 / 運算時間：30 分鐘

圖八顯示了定性結果，包括固體區域（平行板）中的位移等高線圖，以及流體區域（夾在平行板之間）中的速度大小分佈。

圖九則呈現了穿過中心的截面圖，並額外附加速度向量作為補充資訊。需要注意的是，本範例所示的場分佈是根據諧波數據重建出的一個時間週期內的時間相依行為。

圖八：固體區域（平行板）中的時間相依位移場，以及流體區域（夾在平行板之間）中的速度大小分佈。

圖九：中心截面圖，顯示固體區域（平行板）中的時間相依位移場，以及流體區域（夾在平行板之間）中的速度場與速度向量。

圖十（Fig. 10）顯示了頂部微樑沿中心線方向長度的正規化位移，與文獻 [9] 中的正規化量測數據進行定量比較，用以驗證模擬方法的正確性。差異可能來自於本範例中使用了相對較粗的網格。

圖十：樑中心位置處空間位移場（由諧波數據重建）之比較。

頻率與電壓的同步掃描

• 75 組模擬 — 頻率範圍：20 Hz–20 kHz — 電壓範圍：5–25 V — 自由度（DoFs）：41.6 萬 — 單次運算時間：12 分鐘 — 每組使用核心數：8 核

• 圖十一顯示了總諧波失真（Total Harmonic Distortion, THD）隨驅動頻率與電壓變化的結果。總諧波失真常被用來量化聲音訊號輸出的品質。透過諧波平衡法，可以輕鬆地對不同感興趣的參數進行掃描（sweeps），並探索設計空間以尋找最佳化設計。

圖十一：總諧波失真（THD）隨驅動頻率與電壓變化的結果。

展示的關鍵優勢

• 諧波平衡法被應用於一個完全耦合的多物理場案例（靜電學＋固體力學＋流體動力學），並包含網格變形、幾何非線性與預應力。

• 明確捕捉到非線性行為，且透過文獻數據加以驗證。

• 頻率與電壓掃描提供了對設計空間中輸出影響的洞察，對於選擇最佳化設計非常有幫助。

• 展示了在平行掃描（parallel sweeps）中計算效能的優勢。

Quanscient Allsolve 在此主題下的其他優勢

Quanscient Allsolve 讓工程師能將諧波平衡法應用於各種不同的問題，從小型電子元件到大型結構組件皆涵蓋其中。其處理複雜物理現象、大型模型以及細緻交互作用的能力，使其成為解決非線性問題的強大工具。透過結合雲端運算，Allsolve 確保即便是資源需求極高的模擬，也能快速且準確完成。

結論

非線性系統是工程領域中不可或缺的一部分，理解其行為對於設計高效、可靠的解決方案至關重要。諧波平衡法提供了一種實用且高效的方式來研究這些系統，能在頻域中捕捉其完整的行為範圍。

Quanscient Allsolve 藉由雲端資源解決計算挑戰，使此方法能應用於更精細與複雜的模型。從焦耳熱、樑的振動，到先進微型揚聲器設計，這些案例顯示此方法能在更短時間內產出更優質的結果，並提供工程師所需的輸出參數。隨著工程挑戰持續增加，像 Allsolve 這樣的工具將在創新與有效解決方案的開發中，扮演越來越關鍵的角色。

References

[1] Halbach A.: "Domain decomposition techniques for the nonlinear, steady-state, finite element simulation of MEMS ultrasonic", PhD Thesis, University of Liège, 2017.

[2] Nakhla M. S. and Vlach J.: "A piecewise harmonic balance technique for determination of the periodic response of nonlinear systems", IEEE Transactions on Circuits and Systems, vol. 23, pp. 85-91, 1976.

[3] https://allsolve.quanscient.com/documentation/guides/example-cases/harmonic-balance/hb-001-joule-heating

[4] https://allsolve.quanscient.com/documentation/guides/example-cases/harmonic-balance/hb-002-backbone-curve

[5] Hayashi, S., Gutschmidt, S., Murray, R. et al. Experimental bifurcation analysis of a clamped beam with designed mechanical nonlinearity. Nonlinear Dyn 112, 15701–15717 (2024). https://doi.org/10.1007/s11071-024-09873-5

[6] https://allsolve.quanscient.com/documentation/guides/example-cases/harmonic-balance/hb-003-microspeaker

[7] Dr. Andrew Tweedie, Dr. Abhishek Deshmukh, Jukka Knuutinen. Faster and more reliable MEMS design with cloud-based multiphysics simulations. Quanscient webinars (2024). https://quanscient.com/events/mems-webinar-06-24/register

[8] Kaiser, B. et al. Concept and proof for an all-silicon MEMS micro speaker utilizing air chambers. Microsyst Nanoeng 5, 43 (2019). https://doi.org/10.1038/s41378-019-0095-9.

[9] Melnikov, A., Schenk, H.A.G., Monsalve, J.M. et al. Coulomb-actuated microbeams revisited: experimental and numerical modal decomposition of the saddle-node bifurcation. Microsyst Nanoeng 7, 41 (2021). https://doi.org/10.1038/s41378-021-00265-y.